Bachillerato VI Semestre

FUNCIONES CONTINUAS Y DESCONTINUAS

Una función es creciente cuando al ir aumentando los valores de x van aumentando los valores de y . O al ir disminuyendo los valores de x van disminuyendo los valores de y .

La pendiente de la recta m es positiva.

Para leer en un eje de coordenadas leemos de izquierda a derecha (como escribimos).

Ejemplos de rectas crecientes: 1) y = 4x 2) y = 3x + 2 3) y = 5/3 x + 1 4) y = 3/2 x + 2

Analizar y representar la siguiente recta: y = 3x -1

La pendiente de la recta es 3 , por ser positiva la recta es creciente.

La ordenada en el origen n = -1, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, -1)

Tabla de valores de la recta
x	1	0	-1
y	2	-1	-4

Ejercicios rectas decrecientes

Una función es decreciente cuando al ir aumentando los valores de x van disminuyendo los valores de y , o viceversa. La pendiente de la recta m es negativa.

La pendiente de la recta m es negativa.

Ejemplos de rectas decrecientes: 1) y = - 3x 2) y = - 4/3x +1

Analizar y representar la siguiente recta: y = -2x + 2

La pendiente de la recta es -2 , por ser negativa la recta es decreciente.

La ordenada en el origen n = 2, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 2)

Tabla de valores

x	1	0	-1
y	0	2	4

Gráfica de las rectas

Ejercicios rectas paralelas

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.

Ejemplos de rectas paralelas: a) y = 3x y b) y = 3x +1 c) y = -2x + 5 y d) y = -2x -2

Analizar y representar la siguiente recta: y = 4x + 2

La pendiente de la recta es 4 , por ser positiva la recta es creciente.

La ordenada en el origen n = 2, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 2)

Tabla de valores

x	1	0	-1
y	6	2	-2

Analizar y representar la siguiente recta: y = 4x

La pendiente de la recta es 4 , es paralela a la recta anterior.

La ordenada en el origen n = 0, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 0)

Gráfica de las rectas

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos

Ejercicios resueltos de rectas

1) Representa las siguientes rectas: a) y = 3x +2 b) y = -x +2 c) y = 5x -3

2) Representa las siguientes rectas: d) y = 5x +3 e) y = -x +4 f) y = -2x - 1

3) Dibuja la gráfica de una recta que pasa por el punto (2, 6) y cuya ordenada en el origen es 1.

Ejemplo
Sea f la función definida por $f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \vert 2 -x\vert & si & x \neq 2 \\ & & \\ 1& si & x=2 \\ \end{array}\right.$
Determinemos si f es continua en

Se tiene que

y que $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{2}}{\vert 2-x\vert}=\vert 2-2\vert=0}$

Se observa que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}$ existe pero es diferente de

Luego, si le asignamos a

el valor de 0 (cero), la función es continua. Puede escribirse de nuevo la definición de f como sigue:

$f(x)=\left \{ \begin{array}{ccc} \vert 2-x\vert & si & x\neq 2 \\ & & \\ 0 & si & x = 2 \\ \end{array}\right.$
Ambas situaciones se ilustran a continuación:

La discontinuidad será inevitable o esencial si el limite de la función en el punto de discontinuidad no existe.

Ejemplo
Consideremos la función definida por $f(x): \left \{ \begin{array}{ccc} x^2-4 & si & x>2 \\ & & \\ x & si & x<2 \\ \end{array}\right.$

Analicemos la continuidad en

.

Como f no está definida en 2, automáticamente f es discontinua en ese valor. Sin embargo, si el $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}$ existe puede redefinirse la función para que sea continua. Calculemos por tanto el $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}$ .

Para ello vamos a analizar los límites laterales como sigue: $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow{2^+}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{2^+}}{x^2-4}=0\; \;,\lim_{x \rightarrow{2^-}}{f(x)}=\lim_{x \rightarrow{2^-}}{x}=2}$
Como los límites laterales son diferentes entonces $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}$ no existe y la discontinuidad es inevitable, ya que no podemos redefinir la función.
La representación gráfica de la función f es la siguiente:

EjercicioPara cada una de las funciones definidas a continuación, determine si la función es o no continua en el valor de

especificado.

En caso de discontinuidad, especifique si ésta es evitable o no.

Si la discontinuidad es evitable, escriba la nueva definición de la función.