Bachillerato VI Semestre

CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL

No toda curva es la gráfica de una función, existe una regla geométrica que nos

permite saber si una gráfica es una función o simplemente una relación, este criterio

se enuncia a continuación:

“ Una curva es la gráfica de una función sí y sólo si al trazar rectas

verticales sobre ella, ninguna de ellas la intercepta en más de un

sólo punto a la vez”.

http://www.figueraspacheco.com/CEED/DEPARTAMENTOS/MATEMATICAS/Matematicas1/ceed1bcn/pres_9q_archivos/pres_925.jpg

http://www.xtec.cat/~fgonzal2/graficas_Files/Image14.gif

$http://bibliotk.gdl.up.mx/calculo/frac1a0007.jpg$

http://www.acienciasgalilei.com/public/forobb/galeria/tmp1/6feb832c3a.gif

http://cibertareas.com/wp-content/uploads/2012/03/asintotas.jpg

http://www.hiru.com/image/image_gallery?uuid=3b78e28f-ad37-47db-9a8d-4d90b7d8af6c&groupId=10137&t=1260844580062

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/images/imagen25.gif

http://www.ematematicas.net/imagenes/asintota_vertical.png

Problemas Resueltos

Ejemplo #1

Encontrar la ecuación de la mediatríz del segmento formado por los puntos A(4,2) y B(-2,10).

$\sqrt{(x-4)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{(x+2)^{2}+(y-10)^{2}} \:\:\: ()^{2}$

$(x-4)^{2}+(y-2)^{2}=(x+2)^{2}+(y-10)^{2}$

$(x^{2}-8x+16+(y^{2}-4y+4)=(x^{2}+4x+4)+(y^{2}-20y+100)$

Ejemplo #2

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos

Calculamos la pendiente. $m = \left( \frac{k - 0}{1 - 0} \right)$

Ahora aplicamos la ecuación de la recta $(y - y_{o})=m(x-x_{o})+b$ sustituyendo los valores que tenemos

tomamos cualquier punto y lo evaluamos para hallar el valor de b

por lo tanto la ecuación de la recta es

Ejemplo #3

encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A( -1, 3) y es paralela a la recta 2y -6x = 10

procedimiento:

$y= \frac{10 + 6x}{2}$

luego utilizamos la ecuación general de la recta y llegamos a :

$(y - y_{o})=m(x-x_{o})$

la ecuación de la recta que pasa por ese punto es:

Pendiente = 3

intersección con el eje Y = (0,6) "hacemos cero a x"

intersección con el eje x = (-2,0) "hacemos cero a y"

Ejemplo #4

Halle la ecuación de la recta que pasa por

y es paralela a

utilizamos la ecuación general de la recta :

$(y - y_{o})=m(x-x_{o})$

la ecuación de la recta que pasa por ese punto es:

Ejemplo #5

Halle la ecuación de la recta que pasa por

y es perpendicular a

$y=-\tfrac{2}{3}x+4/3$
utilizamos la ecuacion general de la recta :

$(y - y_{o})=m(x-x_{o})$
la pendiente de una recta perpendicular a ella es el reciproco negativo
$(y-5)=\tfrac{3}{2}x+3$
la ecuacion de la recta que pasa por ese punto es:

$y=\tfrac{3}{2}x+8$

Ejemplo #6

Encontrar la equacion de la recta que pasa por x el punto P(5,-7) en la recta que es paralela a 6x+3y=4

tenemos que la pendiente es paralela a

Ejemplo #7

Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (3,2),(4,3)

Primero encontramos el valor de la pendiente:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Entonces: $m=\frac{3-2}{4-3}= \frac{1}{1}=1$

Ya que tenemos el valor de nuestra pendiente introducimos los valores en la ecuacion de la recta

$(y - y_{o})=m(x-x_{o})$

Aca llegamos a nuestra respuesta y podemos ver un grafico de ella

Ejemplo #8

Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (5,1),(8,3)

Primero encontramos el valor de la pendiente:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Entonces: $m=\frac{3-1}{8-5}= \frac{2}{3}$

Ya que tenemos el valor de nuestra pendiente introducimos los valores en la ecuacion de la recta

$(y - y_{o})=m(x-x_{o})$

$y-3=\frac{2}{3}(x-8)$

$y -3= \frac{2}{3}x-\frac{16}{3}$

$y = \frac{2}{3}x-\frac{16}{3}+3$

$y = \frac{2}{3}x-2.33$

Aca llegamos a nuestra respuesta y podemos ver un grafico de ella

Ejemplo #9

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (-2, 1). Determine el intercepto de la recta con el eje y.

Soluciones de Rectas

Ejemplo #10

Del segmento formado por los puntos A(5,2) y B(-2,12), encontrar la mediatriz

$PM\left (\frac{x_2+x_1}{2} ,\frac{y_2+y_1}{2} \right )$

$PM\left (\frac{-2+5}{2} ,\frac{12+2}{2} \right )$

$PM\left (\frac {3}{2} , 7 \right )$

$m= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \frac {10}{-7}$

$m= {-1/-10/7}= \frac {7}{10}$

Forma punto-pendiente de la mediatriz del segmento

Respuesta

$y-7 = \frac {7}{10} (x-\frac {3}{2})$

REGLA DE CORRESPONDENCIA

Una correspondencia unívoca es una correspondencia matemática donde cada elemento del conjunto dominio se corresponde con solo un elemento del conjunto rango.

Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

Una aplicación inyectiva cada elemento imagen tendrá un único origen y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B.

En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos.

[editar]Ejemplo

en el diagrama de la figura:

todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva

el elemento d de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva.

[editar]Segundo ejemplo

Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:

$P = \{ \,$

$\} \,$

Sobre el conjunto de caras pintadas:

$C = \{ \,$

$\} \,$

Asociando cada pincel con la cara correspondiente:

Dado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su color esta correspondencia es una aplicación, como las caras que tiene pincel de su color, tienen un solo pincel de su color, la aplicación es inyectiva, y como la cara pintada de amarillo, no tiene ningún pincel de este color, la aplicación no es sobreyectiva.

[editar]Aplicación no inyectiva y sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A.

Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor número de elementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y.

[editar]Ejemplo

en el diagrama de la figura:

el elemento c de Y, tiene dos orígenes: el 3 y el 4, por lo que esta aplicación no es inyectiva.

todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.

[editar]Segundo ejemplo

Igual que en el ejemplo anterior partiremos del conjunto de pinceles con pintura de colores:

$P = \{ \,$

$\} \,$

En este caso hay dos pinceles con pintura azul, pero a pesar de tener el mismo color de pintura son dos pinceles distintos.

Como conjunto final tenemos el conjunto de caras pintadas:

$C = \{ \,$

$\} \,$

Asociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos que cada pincel tiene una cara pintada de su color y solo una, esto hace que la correspondencia sea una aplicación, la cara azul tiene dos pinceles de su mismo color, por lo que no es inyectiva, todas las caras tiene un pincel con su color, luego la aplicación es sobreyectiva.

[editar]Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen.

En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la intersección de A y B.

Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo número de elementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:

· Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y.

[editar]Ejemplo

en el diagrama de la figura:

todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva

todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.

Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los números naturales:

$X = \{1, 2, 3, ... \} \,$

y por conjunto final el de los números naturales pares:

$Y = \{2, 4, 6, ... \} \,$

Podemos ver que la relación

$f: X \rightarrow Y$

$f: x \mapsto 2x$

Por el que a cada número natural x de X, le asociamos un número par 2x de Y, se cumple:

1. f: es una aplicación, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un único valor 2x de Y.

2. esta aplicación es inyectiva dado que a cada número par 2x de Y le corresponde un único valor x de X.

3. y es sobreyectiva porque todos los números pares tienen un origen

Esto nos permite afirmar que hay el mismo número de números naturales que de números naturales pares, se da la paradoja de que los números naturales pares en un subconjunto propio de los números naturales, esta circunstancia solo se da con los conjuntos infinitos.

Segundo ejemplo

Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:

$P = \{ \,$

$\} \,$

y el de caras como conjunto final:

$C = \{ \,$

$\} \,$

La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una aplicación porque todos los pinceles tienen una cara con su color y solo una cara de ese color, la aplicación es inyectiva porque un pincel corresponde con una sola cara, y es sobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su color, al ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente esta aplicación es biyectiva.

Una aplicación biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con los del conjunto final uno a uno, pudiéndose decir que hay el mismo número de elementos en el conjunto inicial que en el final.

Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que tenga dos o más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre específico y quizá sean las que presenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés.

Para esta aplicación los conjuntos X e Y no son comparables, y no podemos plantear ningún supuesto sobre su cardinalidad, partiendo de su comparación, ni sobre su número de elementos.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a la unión de A y B.Ejemplo

en el diagrama de la figura:

el elemento b de Y, tiene dos orígenes: 1 y 2, esto hace que esta aplicación no sea inyectiva

el elemento a de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva

Segundo ejemplo

Si tomamos como conjunto inicial el de pinceles de colores:

$P = \{ \,$

$\} \,$

y como conjunto final el de caras coloreadas:

$C = \{ \,$

$\} \,$

Vemos que todos los pinceles tiene una cara y solo una cara de su mismo color, luego esta correspondencia es una aplicación matemática.

Como la cara azul tiene dos pinceles de su color la aplicación no es inyectiva, y como la cara amarilla no tiene ningún pincel de ese color no es sobreyectiva, luego esta aplicación es no inyectiva y no sobreyectiva

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Correspondencia_01.svg/250px-Correspondencia_01.svg.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Correspon_0102.svg/180px-Correspon_0102.svg.png

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/ClasiBinaEs_003.svg/300px-ClasiBinaEs_003.svg.png

http://lalupa3.webcindario.com/matematicas/correspondencia.gif

DOMINIO, ARGUMENTO , IMAGEN Y CONT RADOMINIO

El dominio de una función es el primer conjunto de datos, sus elementos (argumentos)

tienen su imagen en el contradominio.

El argumento es cualquier elemento del dominio.

La imagen es el elemento que le corresponde a un argumento de forma particular.

El contradominio de una función es el segundo conjunto de datos, contiene a

las imágenes.

El rango está conformado por el conjunto de imágenes, algunas veces es igual

al contradominio.

También se puede decir que, una función es una relación en que cualquier elemento

del dominio le corresponde un sólo elemento del codominio, este último

también llamado contradominio.

Una variable representa a aquello que está sujeto a algún tipo de cambio, como

la edad de una persona, la velocidad de un automóvil, el crecimiento de las hojas de

una planta, etc.

Una función expresada como ecuación posee dos variables.

Una de ellas la podemos manipular llamada variable independiente y su consecuencia

llamada variable dependiente. Por

Bachillerato VI Semestre

sábado, 20 de abril de 2013

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