Bachillerato VI Semestre

FUNCIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.

Ecuación general

$Ax + By + C = 0\,$

Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.

Ecuación segmentaria o simétrica

$\frac{x}{E} + \frac{y}{F} = 1$

Aquí ni E ni F no pueden ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.

Forma paramétrica

$x = Tt + U\,$
$y = Vt + W\,$

Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.

Casos especiales:

$y = F\,$

Un caso especial es la forma estándar donde $\, A = 0$ y $\, B = 1$ . El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con ese eje.

$x = E\,$

Otro caso especial de la forma general donde $\, A = 1$ y $\, B = 0$ . El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.

$0 = 0\,$

En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.

Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: $\, 3 x + 2 =3 x - 5$ .

Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas. Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones

Las funciones de segundo

Las funciones de segundo grado o parabólicas tienen mucho uso dentro del mundo de los videojuegos, piensa en Super Mario o en cualquier juego de plataformas 2D que hayas jugado. Cuando saltas el movimiento que describe el personaje es un movimiento parabólico que se puede obtener con una función de segundo grado. Tienen el siguiente aspecto.
$y= {ax}^{2}+bx+c$ Donde a, b y c son números. Si a vale 0 nos quedaría.
$y=bx+c$ Que ya no sería una parábola sino una recta como vimos en el artículo anterior

Para dibujar su gráfica podríamos usar el método de ir dándole valores a la x y obtener sus respectivas y, pero necesitaríamos muchos puntos para poder dibujar bien, lo mejor es buscar los puntos claves. Los puntos de corte con los ejes y el vértice.

Ecuación de tercer grado

Una ecuación de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \,$

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.

La función cúbica

Es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \,$

donde el coeficiente a es distinto de 0.

Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales.

La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuártica.

Discriminante

Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica con coeficientes reales tiene al menos una solución x sobre los números reales; esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Se pueden distinguir varios posibles casos, usando para ello el discriminante.

Los siguientes casos necesitan ser considerados:

Si Δ > 0, entonces la ecuación tiene tres distintas raíces reales.
Si Δ = 0, entonces la ecuación tiene múltiples raíces y todas sus raíces son reales (puede ser una raíz triple o una doble y otra simple).
Si Δ < 0, Entonces la ecuación tiene una raíz real y dos raíces complejas conjugadas.

FUNCION CUARTICA

Una ecuación de cuarto grado o ecuación cuártica con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

$ax^4 + bx^3 + {cx^2}^{} + dx + e = 0$

donde a, b, c, d y e (siendo $a \ne 0$ ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a los reales $\mathbb{R}$ o los complejos $\mathbb{C}$ .

En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según elTeorema Fundamental del Álgebra.
El método siguiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo. Este método es llamado "método de Descartes"

Método de Descartes

Los pasos de la resolución para el método de Descartes son:

Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a
Proceder al cambio de incógnita para suprimir el término cúbico. ras sustituir x y operando con las identidades notables,
Y ahora, la idea genial: factorizar lo anterior
Desarrollando la expresión e identificando los dos polinomios, obtenemos las condiciones:
Después de algunos cálculos y lo hallamos es una ecuación de tercer grado en la variabley que se puede resolver usando el método de Cardano.

y=5x^4

PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS FUNCIONES POLINOMIMALES DE GRADOS 3 Y 4

La función polinomial de tercer grado más sencilla es: y= x3

mpezamos calculando sus raíces.

Para quey= 0 se requiere que x3=0.

En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrar los números que al multiplicarlos

por sí mismo tres veces obtengamos cero.

El único número que satisface la condición anterior es

x=0.

Esta es la única raíz de la función.

Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de los números reales.

El contradominio se calcula de la sigiuente manera:

Observa que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo al cubo es positivo también.

Cuando x es negativo el resultado de elevarlo alcubo es negativo.

Entonces, el contradominio también es el conjunto de los números reales, porque cuando x

crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho.

Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativos

Definición División sintética

La división sintética entre dos polinomios se realiza utilizando solamente los coeficientes.

FUNCION RACIONAL

Asìntotas de la grafica de una funcion racional

Si la distancia de una recta a una gràfica tiende a cero ( la recta se aproxima a la gràfica casi hasta rosarla) cuando un punto de esta se aleja del origen, entonces la recta es una asìntota de la gràfica.

PASOS PARA TRAZAR LA CARA DE UNA FUNCION RACIONAL

Supongamos que, donde son polinomios que no tienen el factor comùn.

1.- Encontrar los puntos de intersecciòn con el eje x, es decir, los ceros reales del nuemerador y localizar los puntos correspondientes sobre el eje.

2.- Hayar los ceros reales del denominador para cada cero real trace la asintota vertical con una lìnea punteada.

3.- Ubicar el punto de intersecciòn con el eje y, si existe, localizar el punto en ele eje y .

4.- Determinar en caso de cque las haya, la discontonuidad removible.

5 .-Hayar al menos dos puntos de la gràfica que esten a ladercha de la asintota vertical y a la izquierda de la misma, en caso de que los haya.

6.- Aplicar el teorema sobre las asintotas horizontales.

7.- Unir mediante curvas los puntos obtenidos para trazar la gràfica de la funciòn

FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMO

Funcion exponencial

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es deltipo exponencial en base a si tiene la forma

$E(x)=K \cdot a^x$
siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

La función exponencial e^x puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \ldots$

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

x
1/8	-3
1/4	-2
1/2	-1
1	0
2	1
4	2
8	3

x
1/8	3
1/4	2
1/2	1
1	0
2	−1
4	−2
8	−3

Propiedades de las funciones logarítmicas

Dominio:

Recorrido:

Es continua.

Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a>1.

Decreciente si a<1.

Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1^er y 3^er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.